Wie eine Tübinger Doktorarbeit ein ganzes Forschungsfeld mitbegründete

Im Jahr 2006 verteidigte Dirk Schieborn an der Eberhard-Karls-Universität Tübingen seine Doktorarbeit mit dem Titel „Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations of Eikonal Type on Ramified Spaces”. Daraus entstand in Zusammenarbeit mit dem italienischen Mathematiker Fabio Camilli (Sapienza Università di Roma) das Paper „Viscosity solutions of Eikonal equations on topological networks”, erschienen 2013 in Calculus of Variations and Partial Differential Equations (Springer). Es ist auch frei zugänglich auf arXiv.

Was auf den ersten Blick wie ein Spezialistenpaper klingt, wurde zu einem der Grundlagentexte eines ganzen Forschungsbereichs. Dieser Blog-Post zeichnet nüchtern nach, welche Resonanz die Arbeit hatte — wer sie aufgegriffen hat, wo, und in welchen Fachgebieten.

Worum geht es inhaltlich?

Stark vereinfacht: Die Arbeit fragt, wie man eine bestimmte Klasse von Differentialgleichungen — sogenannte Eikonal-Gleichungen — auf Netzwerken lösen kann. Ein Netzwerk besteht dabei aus Kurven, die an Knotenpunkten zusammentreffen (man denke an ein Straßennetz oder ein Rohrsystem).

Im klassischen Fall löst man solche Gleichungen auf glatten Flächen oder im euklidischen Raum. Schieborn und Camilli definierten erstmals einen geeigneten Lösungsbegriff (sogenannte Viskositätslösungen) für den Fall, dass der zugrundeliegende Raum ein topologisches Netzwerk ist. Sie bewiesen die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. Der zentrale Beitrag war die Formulierung der richtigen Übergangsbedingungen an den Knotenpunkten — also die mathematische Beschreibung dessen, was an den Verzweigungsstellen passiert.

Die Doktorarbeit ist die direkte Grundlage des Schieborn-Camilli-Papers, um das es in diesem Artikel geht. Auf der Projektseite finden sich weitere Infos — inkl. Podcast, Video und Bilder.

Zur Doktorarbeit

Direkte Folgearbeiten der Autoren

Schieborn und Camilli bauten ihre Ergebnisse in mehreren eigenen Folgearbeiten aus:

„An approximation scheme for a Hamilton–Jacobi equation defined on a network” (Camilli, Festa, Schieborn; Applied Numerical Mathematics, 2013): Entwicklung eines semi-lagrangeschen numerischen Verfahrens zur konkreten Berechnung der Lösungen auf Netzwerken. Adriano Festa (damals Sapienza Rom, heute Politecnico di Torino, Italien) war Koautor.
„The vanishing viscosity limit for Hamilton–Jacobi equations on networks” (Camilli, Marchi, Schieborn; Journal of Differential Equations, 2013): Untersuchung, was passiert, wenn man die Gleichungen auf dem Netzwerk mit einem kleinen Viskositätsterm regularisiert und diesen dann gegen Null gehen lässt. Claudio Marchi (Università di Padova, Italien) war Koautor.
„Eikonal equations on ramified spaces” (Camilli, Schieborn, Marchi; Interfaces and Free Boundaries, 2013): Verallgemeinerung der Ergebnisse auf höherdimensionale verzweigte Räume (sogenannte „ramified manifolds”).

Rezeption in der internationalen Forschungsgemeinschaft

Die Arbeit von Schieborn und Camilli wurde in der Fachwelt breit aufgegriffen. Eine Übersicht über die wichtigsten Stränge:

Frankreich: Verkehrsflussmodellierung und optimale Steuerung

Einer der einflussreichsten Stränge, der direkt auf die Arbeit aufbaut, kommt aus Frankreich. Cyril Imbert (CNRS/École Normale Supérieure, Paris), Régis Monneau (École des Ponts ParisTech) und Hasnaa Zidani entwickelten einen Hamilton-Jacobi-Zugang zu Kreuzungsproblemen mit Anwendung auf Verkehrsflüsse:

„A Hamilton-Jacobi approach to junction problems and application to traffic flows” (Imbert, Monneau, Zidani; ESAIM: COCV, 2013): Diese vielzitierte Arbeit referenziert sowohl Schieborns Dissertation als auch das Schieborn-Camilli-Paper als Grundlagenarbeiten. Sie wendet den Ansatz auf das Lighthill-Whitham-Richards-Verkehrsmodell an.

Auch Yves Achdou (Université Paris Cité), Alessandra Cutrì (Università Roma Tor Vergata) und Nicoletta Tchou (Université de Rennes 1, Frankreich) griffen die Arbeit auf:

„Hamilton–Jacobi equations constrained on networks” (Achdou, Camilli, Cutrì, Tchou; NoDEA, 2013): Erweiterung auf zustandsbeschränkte Kontrollprobleme auf Netzwerken.
„Hamilton–Jacobi equations for optimal control on junctions and networks” (Achdou, Oudet, Tchou; ESAIM: COCV, 2015): Weiterentwicklung der Theorie für Optimalsteuerungsprobleme an Kreuzungen. Zitiert Schieborn-Camilli als zentrale Referenz.
„Hamilton-Jacobi Equations on Networks as Limits of Singularly Perturbed Problems in Optimal Control: Dimension Reduction” (Achdou, Tchou; Comm. PDE, 2015): Dimensionsreduktion von Steuerungsproblemen auf dünnen Gebieten hin zu Netzwerk-Gleichungen.

Jessica Guerand nutzte die Arbeit in ihrer Dissertation „Équations de Hamilton-Jacobi discontinues et régularité parabolique à la De Giorgi” (2018, Paris) und ordnet die Schieborn-Camilli-Arbeit als eines der frühen Schlüsselresultate für numerische Verfahren auf Netzwerken ein.

Deutschland: Verkehrssimulation

Simone Göttlich (Universität Mannheim), Michael Herty (RWTH Aachen) und Ute Ziegler entwickelten ein numerisches Diskretisierungsverfahren für Hamilton-Jacobi-Gleichungen auf Netzwerken, motiviert durch Verkehrsflussmodellierung:

„Numerical discretization of Hamilton–Jacobi equations on networks” (Göttlich, Ziegler, Herty; Networks and Heterogeneous Media, 2013): Anwendung eines adaptierten Lax-Friedrichs-Schemas auf das Lighthill-Whitham-Richards-Verkehrsmodell, etwa zur Berechnung von Reisezeiten in einem Kreisverkehr.

Italien: Von Netzwerken zu Fraktalen und CAT(0)-Räumen

Die Arbeit regte in Italien die Übertragung der Theorie auf Fraktale an:

„Eikonal equations on the Sierpinski gasket” (Camilli, Capitanelli, Marchi; Mathematische Annalen, 2016): Eikonal-Gleichungen auf dem Sierpinski-Dreieck, einem klassischen Fraktal. Raffaela Capitanelli arbeitet an der Sapienza Roma. Die Autoren zitieren die Schieborn-Camilli-Arbeit als direkte Grundlage ihres Netzwerk-Ansatzes.

Antonio Siconolfi (Sapienza Roma) und Alfonso Sorrentino (Università di Roma Tor Vergata) bauten die Theorie erheblich aus:

„Global Results for Eikonal Hamilton-Jacobi Equations on Networks” (Siconolfi, Sorrentino; Analysis & PDE, 2018): Globale Lösungstheorie für Eikonal-Gleichungen auf Netzwerken. Die Autoren beschreiben Schieborns und Camillis Modell als direkten Vorläufer, den sie verallgemeinern.
„Discounted Hamilton-Jacobi Equations on Networks and Asymptotic Analysis” (Pozza, Siconolfi; Indiana Univ. Math. J., 2019): Diskontierte Gleichungen auf Netzwerken ohne Einschränkungen an die Geometrie.

Marco Pozza (ebenfalls Sapienza Roma) erweiterte dies erst kürzlich:

„Aubry Set of Eikonal Hamilton-Jacobi Equations on Networks” (Pozza; Preprint, 2024): Neue Verallgemeinerung der Netzwerk-Theorie, verweist auf Schieborn-Camilli als eine der Gründungsarbeiten des Feldes.
„Homogenization of Hamilton-Jacobi equations on networks” (Pozza, Siconolfi; Preprint, 2024): Homogenisierung auf periodischen Netzwerken, mit Verbindungen zur Mather-Theorie.

Ein aktuelles Paper zeigt die Wirkung bis in die geometrische Analysis:

„Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations in Proper CAT(0) Spaces” (Journal of Geometric Analysis, 2024): Zitiert sowohl Schieborns Dissertation als auch das Schieborn-Camilli-Paper bei der Entwicklung einer Viskositätslösungs-Theorie in CAT(0)-Räumen (einer Klasse von nicht-positiv gekrümmten metrischen Räumen).

Japan: Verallgemeinerung auf allgemeine metrische Räume

Yoshikazu Giga (University of Tokyo), Nao Hamamuki (Hokkaido University) und Atsushi Nakayasu entwickelten die Theorie für allgemeine metrische Räume:

„Eikonal equations in metric spaces” (Giga, Hamamuki, Nakayasu; Transactions of the AMS, 2015): Einführung metrischer Viskositätslösungen, die als Spezialfall auch topologische Netzwerke abdecken. Die Arbeit von Schieborn und Camilli wird als wichtiger Anwendungsfall und Motivation genannt.

Weitere japanische Folgearbeiten betreffen Stabilitäts- und Langzeitverhalten der Lösungen in metrischen Räumen (Nakayasu und Namba, Nonlinearity, 2018).

Weitere Länder

Die Arbeit wurde auch aufgegriffen von Forschern in den USA (Pierre-Louis Lions, Columbia/Collège de France; Panagiotis Souganidis, University of Chicago — beide Fields-Medaillen-assoziiert), die an der Wohlgestelltheit von Hamilton-Jacobi-Gleichungen mit Kirchhoff-Bedingungen an Kreuzungen arbeiteten. Qing Liu, Nageswari Shanmugalingam und Xiaodan Zhou (University of Cincinnati / OIST, Japan/USA) bewiesen 2021 die Äquivalenz verschiedener Lösungsbegriffe für Eikonal-Gleichungen in metrischen Räumen und bezogen sich dabei auf die Kette der Arbeiten, die mit Schieborn-Camilli begann.

Ein aktuelles Preprint (2024) aus Chile/Deutschland von Trí Minh Lê und Sebastián Tapia-García behandelt „On (discounted) global Eikonal equations in metric spaces” und arbeitet weiterhin in dem von Schieborn-Camilli mitbegründeten Rahmen.

Relevanz über die nichtlineare Analysis hinaus

Die Arbeit ist nicht nur innerhalb der Theorie nichtlinearer partieller Differentialgleichungen relevant. Sie berührt und beeinflusst mehrere benachbarte Fachgebiete:

Verkehrsflussmodellierung und Transportwissenschaften: Verkehr auf Straßennetzen wird durch Erhaltungsgleichungen beschrieben, die über eine Variablentransformation zu Hamilton-Jacobi-Gleichungen auf Netzwerken werden. Die Arbeiten von Imbert, Monneau, Göttlich, Herty und anderen nutzen genau diesen Zusammenhang. Die Berechnung von Reisezeiten, Stauausbreitung und optimaler Verkehrssteuerung an Kreuzungen profitiert direkt davon.
Optimale Steuerung (Optimal Control): Die Hamilton-Jacobi-Gleichung ist die zentrale Gleichung der dynamischen Programmierung. Die Erweiterung auf Netzwerke erlaubt die Behandlung von Steuerungsproblemen, bei denen sich ein Agent auf einem Netzwerk bewegt — etwa in der Logistik oder der Robotik.
Graphentheorie und kürzeste Wege: Schieborn und Camilli zeigten, dass ihre Theorie das klassische Kürzeste-Wege-Problem auf Graphen als Spezialfall enthält, es aber verallgemeinert: Statt nur an den Knoten können Start und Ziel an beliebigen Punkten der Kanten liegen, und die Kosten können sich entlang der Kanten kontinuierlich ändern.
Analysis auf Fraktalen: Die Übertragung auf das Sierpinski-Dreieck (Camilli, Capitanelli, Marchi) zeigt, dass der Netzwerk-Ansatz als Brücke zu Differentialgleichungen auf Fraktalen dient — einem aktiven Forschungsgebiet in der modernen Analysis.
Metrische Geometrie: Die japanischen Verallgemeinerungen auf allgemeine metrische Räume und die italienischen Arbeiten zu CAT(0)-Räumen zeigen, dass die Ideen aus der Schieborn-Camilli-Arbeit weit über das klassische Setting hinausreichen und in der geometrischen Analysis fruchtbar sind.
Numerische Mathematik: Mehrere Arbeiten entwickelten konkrete Berechnungsverfahren (Semi-Lagrange-Schemata, Lax-Friedrichs-Verfahren, Finite-Differenzen-Schemata), die auf der Theorie aufbauen. Diese sind direkt implementierbar und für Ingenieuranwendungen relevant.

Einordnung

Schieborns Dissertation und das daraus entstandene Paper mit Camilli waren eine der ersten Arbeiten, die die Theorie der Viskositätslösungen systematisch auf topologische Netzwerke übertrugen. Parallel und unabhängig entstanden verwandte Arbeiten (insbesondere von Imbert und Monneau für Kreuzungen sowie von Achdou, Camilli, Cutrì und Tchou für zustandsbeschränkte Probleme). Fabio Camilli und Claudio Marchi verglichen 2013 in einem eigenen Paper „A comparison among various notions of viscosity solution for Hamilton–Jacobi equations on networks” (J. Math. Anal. Appl.) die verschiedenen Lösungsbegriffe und stellten deren Äquivalenz fest.

Die Arbeit wurde in Frankreich, Italien, Deutschland, Japan und den USA aufgegriffen. Sie regte Forschung in der Verkehrsmodellierung, der optimalen Steuerung, der Graphentheorie, der Analysis auf Fraktalen, der metrischen Geometrie und der numerischen Mathematik an. Noch 2024 erscheinen Arbeiten, die direkt auf ihr aufbauen.

Die EU förderte verwandte Forschung im Rahmen des FP7-Projekts SADCO (Sensitivity Analysis for Deterministic Controller Design), in dessen Publikationsverzeichnis das Schieborn-Camilli-Paper gelistet ist.

Dirk Schieborn ist heute Professor für Mathematik, Data Analytics und Machine Learning an der Hochschule Reutlingen sowie Managing Partner eines Steinbeis Transfer Centers. Fabio Camilli ist Professor an der Sapienza Università di Roma.