Forschungspaper · Calc. Var. & PDE · Springer 2012

Viscosity Solutions of
Eikonal Equations
on Topological Networks

Dirk Schieborn · Eberhard-Karls-Universität Tübingen
Fabio Camilli · Sapienza Università di Roma
DOI 10.1007/s00526-012-0498-z MSC 49L25 Viskositätstheorie
∂Γ vT vT ∂Γ ∂Γ ej ek
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Was ist ein topologisches Netzwerk?

Ein Graph im ℝN bestehend aus differenzierbaren Kanten (ej), verbunden an Knotenpunkten — mit zwei Typen:

Randknoten (∂Γ)
Übergangsknoten (vT)

Die Übergangsbedingungen an den inneren Knoten sind die zentrale Neuerung — sie bestimmen, wie die Lösung über Verzweigungsstellen hinweg definiert wird.

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Die Eikonal-Gleichung auf Netzwerken

Eine Hamilton-Jacobi-Gleichung, die den kürzesten Abstand auf dem Netzwerk beschreibt:

H(x, Du) = 0     x ∈ Γ
H Hamiltonian
Konvex, koerzitiv, stetig auf jeder Kante
Du Ableitung entlang Kanten
Intrinsisch 1-dimensional definiert
Γ Netzwerk-Inneres
Kanten + Übergangsknoten (ohne Rand)
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Drei Hauptergebnisse

Die Viskositätslösungstheorie überträgt sich vollständig auf Netzwerke:

∃

Existenz

Darstellungsformel über die Hamiltonian-assoziierte Distanzfunktion S(y, x) liefert die Lösung des Dirichlet-Problems.

u(x) = min{g(y) + S(y,x)}
!

Eindeutigkeit

Ein Vergleichssatz nach Ishiis klassischem Argument: Existenz einer strikten Sublösung impliziert u ≤ v auf dem gesamten Netzwerk.

u ≤ v auf ∂Γ ∪ K ⇒ u ≤ v auf Γ̄
≈

Stabilität

Gleichmäßiger Grenzwert von Lösungen ist wieder Lösung — die zentrale Eigenschaft für numerische Approximation.

uₙ → u gleichm. ⇒ u ∈ S
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Anwendungen & Bedeutung

Die Theorie verbindet Graphentheorie mit PDE-Methoden und eröffnet neue Wege in zahlreichen Gebieten:

🛤
Kürzeste Wege
Verallgemeinert klassische Graph-Distanzen auf stetig variierende Kosten
💡
Geometrische Optik
Lichtausbreitung in verzweigten Medien
🎮
Mean-Field-Spiele
Spieltheorie auf Netzwerkstrukturen
🔬
Granuläre Materie
Zeitabhängige Eikonal-Gleichungen für Granulardynamik
📐
Schwache KAM-Theorie
Erweiterung Lagrangescher Dynamik auf Graphen
🧮
Numerik
Konvergente Approximations­schemata für Netzwerk-PDEs
Schlüsselgleichung
|Du|² − α(x) = 0
Der Spezialfall der Eikonal-Gleichung: α(x) beschreibt den ortsabhängigen Laufkostenfaktor auf dem Netzwerk.
Zentrales Konzept
S(y,x) = inf ∫ L(γ, γ̇) ds
Die Hamiltonian-assoziierte Distanz S — verbindet Variationsrechnung mit Graph-Geometrie.
Paper-Referenz
Schieborn & Camilli (2012)
Calc. Var. & PDE, Springer
DOI: 10.1007/s00526-012-0498-z
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